Алгебра
Гость
23.04.2018
Найдите все пары натуральных чисел х,у таких, что 2х+1 делится на у и 2у+1 делится на х
Ответы:
Решение, построенное на другой идее. Начнем с глупого утверждения.



Глупое утверждение. x и y взаимно просты.

Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1.



Теперь можно перемножить сравнения, получим, что

(2x + 1)(2y + 1) делится на xy.

4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy

2(x + y) + 1 делится на xy



Из последнего следует, что 2(x + y) + 1 >= xy

xy - 2x - 2y <= 1

(x - 2)(y - 2) <= 5



Пусть для определенности x >= y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи:

1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3.

2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2.

3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3.

4) y >= 4. Тогда x - 2 <= 5/2, т.е. x <= 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x.



Ответ. (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 7), (7, 3).
Из  условия делимости n и k целые числа.

2x+1=yk

2y+1=xn

 Очевидна нечетность 2x+1  и 2y+1 откуда  n,k,x,y  нечетные числа

Выразим: x=(yk-1)/2

4y+2=2xn=(yk-1)n

4y+2=ykn-n

2+n=y(kn-4)

Из  симетрии  задачи:

2+k=x(nk-4)

Откуда  2+n  делится на nk-4

и 2+k  делится на nk-4

При k>7 n>7  2+n
Откуда:  k<=7  n<=7 В силу нечетности k и n верно  что k=1,3,5,7 n=1,3,5,7

1) При  k=7 и k=5 

Тогда  если n>1 2+n< kn-4 Что  невозможно тк меньшее   число не делится на большее.

То возможно только  n=1

k=7

2+n=kn-4

то y=2+n/kn-4=1

Подставим: 2+1=xn=x  x=3

(3;1)  решение. в  силу симетрии (1;3)  решение

k=5

при  n=1

2+n=3

kn-4=1       y=3  1+6=nx x=7  

(3;7) решение



2)k=3 

 при n>3

2+n
если n=3

верно  равенство

2+n=nk-4

y=1

Подставим: 2+1=nx=3x x=1

(1;1) решение

n=2

n+2=4 

nk-4=2

Делится то есть  у=4/2=2

Подставим: 2*2+1=xn  5=2x x=5/2  невозможно.

n=1

n+2=3

kn-4=-1  невозможно тк x>0

3)Cамый  замудренный  вариант.

k=1   n+2 должно  делится на  n-4  y=n+2/n-4=  n-4+6/n-4=1+6/n-4

то  есть n-4=1   n-4=2   n-4=3 n-4=6

То  есть возможны варианты:

n=5 y=7  n=6  y=4  n=7 y=3    n=10 x=2

НО  тк n<7 (при  n=7  это  и есть  вариант (1;3)) то возможны 1  два варианта

Подставим;

n=5 y=7

2*7+1=5x

15=5x

x=3  (7;3)   (3;7) решение

n=6  y=4

9=6x  Невозможно

Ответ: (1;3),(3;1),(1;1),(7;3),(3;7)
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос Найдите все пары натуральных чисел х,у таких, что 2х+1 делится на у и 2у+1 делится на х по предмету Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.