Контрольная работа № 1. Четырехугольники

Задания для подготовки к контрольной работе

1.

1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 12

2.

Дано: ABCD – ромб, один из углов которого на 40° больше другого. O – точка пересечения диагоналей.

Найти: углы треугольника BOC

Решение:

ABCD – ромб, поэтому его диагонали перпендикулярны, следовательно ∠ВОС=90 °

Пусть ∠BCD = x°, тогда ∠АВС= 40°+ х° (по условию).

Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому ∠ОВС =(40 + х) : 2, ∠BCO = x : 2.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Составим уравнение: (40 + х) : 2 +x : 2 .

X = 70°. Следовательно, ∠ BCO = ∠ BCD : 2 = 70 : 2 = 35°, ∠ OBC =(40 + 70) : 2 = 55°

Ответ: 35°, 55°, 90°

3.

Дано: Р_CDEF = 28 см, P_CDK = 16 см, P_DEK = 18 см

Найти: Стороны прямоугольника CDEF

Решение:

Т. к. диагонали прямоугольника равны (по свойству прямоугольника), СК = KD = KE;

P_CDK = CD + CK + KD, следовательно CD = P_CDK – CK – KD

P_DEK = DE + EK + KD, следовательно DE = P_DEK – EK – KD

Отсюда получаем, что P_CDK - CD = P_DEK – DE, т.е. 16 - CD = 18 - DE

По условию Р_CDEF = 2(CD + DE) = 28, отсюда CD + DE = 14, CD = 14 – DE.

Подставляем: 16 – (14 – DE) = 18 – DE, отсюда DE = 8 см, CD = 14 - 8 = 6 см

Ответ: 8 см, 6 см

4.

Дано: ABCD – трапеция, BCKH – прямоугольник

Требуется доказать:

1) ∆ABK – равнобедренный

2) AD=3BC

Решение:

1) У трапеции основания параллельны, поэтому BC || AD, следовательно BC || AH и BC || KD.

AB || HC и СD || BK (по условию).

По определению ABCH и BCDK – параллелограммы. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому AB = CH.

Т.к. BCKH – прямоугольник, его диагонали BK и CH равны, следовательно AB=CH=BK, т. е. треугольник ABK – равнобедренный.

2) В п.1. доказано, что ABCH и BCDK – параллелограммы, следовательно, AH=BC и KD=BC.

Т.к. BCKH – прямоугольник, его противоположные стороны равны. Следовательно, HK=BC.

AD = AH + HK + KD = BC + BC + BC = 3BC

5.

Дано: треугольник ABC равнобедренный, DE || BC, EF || AB, D – середина AB, F – середина BC.

AB=18см

Найти: вид четырехугольника DBFE, P_DBFE

Решение:

Т.к. DE || BC и EF||AB, то DE||BF и EF||BD, значит четырехугольник DBFE - параллелограмм, т. к. его противоположные стороны параллельны. BD=BF (как половины равных сторон равнобедренного треугольника). У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому BD=EF=BF=DE. Следовательно, параллелограмм DBFE – ромб (т.к. все стороны равны).

P_DBFE=4BD=4×18:2 = 36см

Ответ: ромб, 36 см

6.

Дано: ABCD – трапеция, AD – большее основание. AC и BD – диагонали. AC – биссектриса ∠A, BD – биссектриса ∠D

Требуется доказать:

1) Трапеция ABCD – равнобедренная

2) Треугольник AOD- равнобедренный

Решение:

1) ∠ADB=∠CBD (накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей BD), ∠ADB=∠BDC (т.к. DB – биссектриса ∠D по условию). Следовательно, ∠BDC=∠CBD. Отсюда следует, что ∆BCD – равнобедренный (углы при его основании BD равны). Значит BC=CD.

∠CAD=∠ACB (накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC), ∠CAD=∠CAB (т.к. AC – биссектриса ∠A по условию). Следовательно, ∠ACB=∠CAB. Отсюда следует, что ∆ABC – равнобедренный (углы при его основании AC равны). Значит BC=AB.

BC=CD и BC=AB, следовательно CD=AB, т.е. трапеция ABCD – равнобедренная.

2) У равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит ∠BAD=∠ADC.

Следовательно, углы ∠ADB и ∠CAD при основании AD треугольника AOD равны (как половины равных углов). Значит ∆AOD – равнобедренный