Решение Задания для подготовки контрольной работы №1 Четырехугольники по геометрии 8 класс

Решебник к контрольным работам по геометрии к учебнику Атанасяна Л.С.

"8 класс"

(авт. Мельникова Н.Б.), изд. 2013 года

 

Контрольная работа № 1. Четырехугольники


Задания для подготовки к контрольной работе


1.

1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 12


2.

Дано: ABCD – ромб, один из углов которого на 40° больше другого. O – точка пересечения диагоналей.

Найти: углы треугольника BOC


Решение:

ABCD – ромб, поэтому его диагонали перпендикулярны, следовательно ВОС=90 °

Пусть BCD = x°, тогда АВС= 40°+ х° (по условию).

Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому ОВС =(40 + х) : 2, BCO = x : 2.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Составим уравнение: (40 + х) : 2 +x : 2 .

X = 70°. Следовательно, BCO = BCD : 2 = 70 : 2 = 35°, OBC =(40 + 70) : 2 = 55°


Ответ: 35°, 55°, 90°



3.

Дано: РCDEF = 28 см, PCDK = 16 см, PDEK = 18 см

Найти: Стороны прямоугольника CDEF


Решение:


Т. к. диагонали прямоугольника равны (по свойству прямоугольника), СК = KD = KE;

PCDK = CD + CK + KD, следовательно CD = PCDK CK KD

PDEK = DE + EK + KD, следовательно DE = PDEK – EK – KD

Отсюда получаем, что PCDK - CD = PDEK DE, т.е. 16 - CD = 18 - DE

По условию РCDEF = 2(CD + DE) = 28, отсюда CD + DE = 14, CD = 14 – DE.

Подставляем: 16 – (14 – DE) = 18 – DE, отсюда DE = 8 см, CD = 14 - 8 = 6 см

Ответ: 8 см, 6 см


4.

Дано: ABCD – трапеция, BCKH – прямоугольник

Требуется доказать:

1) ∆ABK – равнобедренный

2) AD=3BC


Решение:

1) У трапеции основания параллельны, поэтому BC || AD, следовательно BC || AH и BC || KD.

AB || HC и СD || BK (по условию).

По определению ABCH и BCDK – параллелограммы. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому AB = CH.

Т.к. BCKH – прямоугольник, его диагонали BK и CH равны, следовательно AB=CH=BK, т. е. треугольник ABK – равнобедренный.

2) В п.1. доказано, что ABCH и BCDK – параллелограммы, следовательно, AH=BC и KD=BC.

Т.к. BCKH – прямоугольник, его противоположные стороны равны. Следовательно, HK=BC.

AD = AH + HK + KD = BC + BC + BC = 3BC


5.

Дано: треугольник ABC равнобедренный, DE || BC, EF || AB, D – середина AB, F – середина BC.

AB=18см

Найти: вид четырехугольника DBFE, PDBFE


Решение:

Т.к. DE || BC и EF||AB, то DE||BF и EF||BD, значит четырехугольник DBFE - параллелограмм, т. к. его противоположные стороны параллельны. BD=BF (как половины равных сторон равнобедренного треугольника). У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому BD=EF=BF=DE. Следовательно, параллелограмм DBFE – ромб (т.к. все стороны равны).

PDBFE=4BD=4×18:2 = 36см


Ответ: ромб, 36 см



6.


Дано: ABCD – трапеция, AD – большее основание. AC и BD – диагонали. AC – биссектриса A, BD – биссектриса D

Требуется доказать:

1) Трапеция ABCD – равнобедренная

2) Треугольник AOD- равнобедренный


Решение:

1) ADB=CBD (накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей BD), ADB=BDC (т.к. DB – биссектриса D по условию). Следовательно, BDC=CBD. Отсюда следует, что ∆BCD – равнобедренный (углы при его основании BD равны). Значит BC=CD.

CAD=ACB (накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC), CAD=CAB (т.к. AC – биссектриса A по условию). Следовательно, ACB=CAB. Отсюда следует, что ∆ABC – равнобедренный (углы при его основании AC равны). Значит BC=AB.

BC=CD и BC=AB, следовательно CD=AB, т.е. трапеция ABCD – равнобедренная.


2) У равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит BAD=ADC.

Следовательно, углы ADB и CAD при основании AD треугольника AOD равны (как половины равных углов). Значит ∆AOD – равнобедренный